Produit scalaire : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Définitions

I-1- Définition initiale

On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\vec { u } et\quad \vec { v }$ , le nombre réel noté $\vec { u } .\vec { v }$ tel que :

$\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { u } +\vec { v } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 })$

Exemple :

Calculer le produit scalaire $\vec { AB } .\vec { AD }$ pour la figure suivante :

Comme ABCD est un parallélogramme, on a $\vec { AB } +\vec { AD } =\vec { AC }$ donc :

$\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \vec { AC } }^{ 2 }-{ \vec { AB } }^{ 2 }-{ \vec { AD } }^{ 2 })$

$\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } ({ AC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 }-{ AD }^{ 2 })$

$\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } (36-16-9)$

$\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 11 }{ 2 }$

I-2- Définition dans un repère orthonormal

Dans un repère orthonormal $(O,\vec { i } ,\vec { j } )$ le produit scalaire de deux vecteurs $\vec { u } et\vec { v }$ de coordonnées respectives $(x;y)\quad et\quad (x\prime ;y\prime )$ est égal à :

$\vec { u } .\vec { v } =\quad xx\prime +yy\prime$

On peut aussi utiliser la notation matricielle :

$(\begin{matrix} x \ y \end{matrix}).(\begin{matrix} x\prime \ y\prime \end{matrix})=\quad xx\prime +yy\prime$

Démonstration

Montrons que cette définition est équivalente à la définition initiale

On rappelle que si un vecteur $\vec { u }$ a pour coordonnées (x; y) alors :

${ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }={ \quad x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$

On a alors :

$\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { u } +\vec { v } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 })$

$\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ { (x+x\prime ) }^{ 2 }+{ (y+y\prime ) }^{ 2 }-({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })-({ x\prime }^{ 2 }+{ y\prime }^{ 2 }) \right]$

$\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ 2xx\prime +2yy\prime \right]$

$\vec { u } .\vec { v } =\quad xx\prime +yy\prime$

Exemple :

Déterminer le produit scalaire :

\vec { AB } .\vec { AC }

Définition initiale-Définition dans un repère orthonormal

$\vec { AB } .\vec { AC } =\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 0 & -2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 & -2 \ 1 & -2 \end{pmatrix}$

$\vec { AB } .\vec { AC } =\left( \begin{matrix} 1 \ -2 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -3 \ -1 \end{matrix} \right)$

$\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 1\times (-3)+(-2)\times (-1)$

$\vec { AB } .\vec { AC } =\quad -1$

I-3- Définition projective

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec { u } et\vec { v }$ est défini par :

$\vec { u } .\vec { v } =\quad \left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right| \times \cos { (\vec { u } ,\vec { v } ) }$

Exemple

Déterminer le produit scalaire :

\vec { AB } .\vec { AC }

$\vec { AB } .\vec { AC } =\quad \left| \vec { AB } \right| \times \left| \vec { AC } \right| \times \cos { ({ 60 }^{ \circ }) }$

$\vec { AB } .\vec { AC } =\quad AB\times AC\times \cos { ({ 60 }^{ \circ }) }$

$\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 3\times 2\times \frac { 1 }{ 2 }$

$\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 3$

II- Propriétés

Propriété 1

1- Le produit scalaire est commutatif : $\vec { u } .\vec { v } =\quad \vec { v } .\vec { u }$

2- Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition de deux vecteurs : $\vec { u } .(\vec { v } +\vec { w } )=\quad \vec { u } .\vec { v } +\vec { u } .\vec { w }$

3- Le produit scalaire est distributif par rapport à la multiplication par un
scalaire : $(a\vec { u } )+(b\vec { v } )=\quad ab\times (\vec { u } .\vec { v } )$

4- Si les vecteurs $\vec { u } et\vec { v }$ sont colinéaires et de même sens alors : $\vec { u } .\vec { v } =\left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right|$

5- Si les vecteurs $\vec { u } et\vec { v }$ sont colinéaires et de sens contraires alors : $\vec { u } .\vec { v } =-\left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right|$